二叉树

本文在GNU自由文档许可证之条款下提供 在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^（i-1）个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。

树和二叉树的三个主要差别：

1. 树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；
2. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
3. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

图论中的定义

二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

二叉树的类型

二叉树是一个有根树，并且每个结点最多有2个子结点。 满二叉树是每个结点都有0个或2个子结点的树。 一棵有n个结点的二叉树，按满二叉树的编号方式对它进行编号，若树中所有结点和满二叉树1～n编号完全一致，则称该树为完全二叉树。 一棵深度为k且有2k − 1个结点的二叉树称为满二叉树，这种树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干结点，则此二叉树为完全二叉树。具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n + 1。深度为k的完全二叉树至少有2k − 1个结点，至多有2k − 1个结点。

存储二叉树的方法

在编程语言中能用多种方法来构造二叉树。在使用记录的编程语言中，二叉树通常用树结点结构来存储。有时也包含指向唯一的父节点的指针。如果一个结点的子结点个数小于2，一些子结点指针可能为空值，或者为特殊的哨兵结点。

二叉树也可以用数组来存储，而且如果这是完全二叉树，这种方法不会浪费空间。用这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i，它的子结点能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假设根节点的索引为0）。这种方法更有利于紧凑存储和更好的访问的局部性，特别是在前序遍历中。然而，它需要连续的存储空间，这样在存储高度为h的n个结点组成的树时将会浪费很多空间。

顺序存储表示

• 存储结构
• 基本操作

二叉链表存储表示

• 存储结构
• 基本操作

三叉链表存储表示

• 存储结构
• 基本操作

二叉树的遍历

二叉树的遍历可分为深度（算法类DFS）和宽度（即按行遍历）两种，而深度遍历又可以分为前序、中序和后序遍历三种。