树 (数据结构)

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树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个结点有零个或多个子结点；
• 每一个子结点只有一个父结点；
• 没有前驱的结点为根结点；
• 除了根结点外，每个子结点可以分为m个不相交的子树；

术语

1. 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 叶节点或终端结点：度为零的结点称为叶结点；
3. 非终端结点或分支结点：度不为零的结点；
4. 双亲节点：在含有孩子的结点中，这个结点称为孩子结点的双亲结点；
5. 孩子节点：一个结点子树的根节点称为孩子结点；
6. 兄弟节点：具有相同双亲结点的结点互称为兄弟节点；
7. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
8. 结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层；
9. 树的高度或深度:树中结点的最大层次；
10. 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
11. 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
12. 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
13. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树；
• 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树
    • 满二叉树
  • 哈夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

存储

双亲表示法

存储结构

/* 树的双亲表存储表示 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct
{
  TElemType data;
  int parent; /* 双亲位置域 */
} PTNode;
typedef struct
{
  PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
  int n; /* 结点数 */
} PTree;

基本操作

/* 树的双亲表存储的基本操作(14个) */
#define ClearTree InitTree /* 二者操作相同 */
#define DestroyTree InitTree /* 二者操作相同 */

void InitTree(PTree *T)
{ /* 操作结果：构造空树T */
  (*T).n=0;
}

typedef struct
{
  int num;
  TElemType name;
}QElemType; /* 定义队列元素类型 */
#include"c3-2.h" /* 定义LinkQueue类型(链队列) */
#include"bo3-2.c" /* LinkQueue类型的基本操作 */
void CreateTree(PTree *T)
{ /* 操作结果：构造树T */
  LinkQueue q;
  QElemType p,qq;
  int i=1,j,l;
  char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子结点数组 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  printf("请输入根结点(字符型,空格为空): ");
  scanf("%c%*c",&(*T).nodes[0].data); /* 根结点序号为0，%*c吃掉回车符 */
  if((*T).nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */
  {
    (*T).nodes[0].parent=-1; /* 根结点无双亲 */
    qq.name=(*T).nodes[0].data;
    qq.num=0;
    EnQueue(&q,qq); /* 入队此结点 */
    while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */
    {
      DeQueue(&q,&qq); /* 出队一个结点 */
      printf("请按长幼顺序输入结点%c的所有孩子: ",qq.name);
      gets(c);
      l=strlen(c);
      for(j=0;j<l;j++)
      {
        (*T).nodes[i].data=c[j];
        (*T).nodes[i].parent=qq.num;
        p.name=c[j];
        p.num=i;
        EnQueue(&q,p); /* 入队此结点 */
        i++;
      }
    }
    if(i>MAX_TREE_SIZE)
    {
      printf("结点数超过数组容量\n");
      exit(OVERFLOW);
    }
    (*T).n=i;
  }
  else
    (*T).n=0;
}

Status TreeEmpty(PTree T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */
  if(T.n)
    return FALSE;
  else
    return TRUE;
}

int TreeDepth(PTree T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */
  int k,m,def,max=0;
  for(k=0;k<T.n;++k)
  {
    def=1; /* 初始化本结点的深度 */
    m=T.nodes[k].parent;
    while(m!=-1)
    {
      m=T.nodes[m].parent;
      def++;
    }
    if(max<def)
      max=def;
  }
  return max; /* 最大深度 */
}

TElemType Root(PTree T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */
  int i;
  for(i=0;i<T.n;i++)
    if(T.nodes[i].parent<0)
      return T.nodes[i].data;
  return Nil;
}

TElemType Value(PTree T,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，i是树T中结点的序号。操作结果：返回第i个结点的值 */
  if(i<T.n)
    return T.nodes[i].data;
  else
    return Nil;
}

Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中结点的值。操作结果：改cur_e为value */
  int j;
  for(j=0;j<(*T).n;j++)
  {
    if((*T).nodes[j].data==cur_e)
    {
      (*T).nodes[j].data=value;
      return OK;
    }
  }
  return ERROR;
}

TElemType Parent(PTree T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为＂空＂*/
  int j;
  for(j=1;j<T.n;j++) /* 根结点序号为0 */
    if(T.nodes[j].data==cur_e)
      return T.nodes[T.nodes[j].parent].data;
  return Nil;
}

TElemType LeftChild(PTree T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */
  /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子结点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/
  int i,j;
  for(i=0;i<T.n;i++)
    if(T.nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  for(j=i+1;j<T.n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其双亲的序号 */
    if(T.nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */
      return T.nodes[j].data;
  return Nil;
}

TElemType RightSibling(PTree T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */
  /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/
  int i;
  for(i=0;i<T.n;i++)
    if(T.nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
      break;
  if(T.nodes[i+1].parent==T.nodes[i].parent)
  /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */
    return T.nodes[i+1].data;
  return Nil;
}

void Print(PTree T)
{ /* 输出树T。加 */
  int i;
  printf("结点个数=%d\n",T.n);
  printf(" 结点 双亲\n");
  for(i=0;i<T.n;i++)
  {
    printf("    %c",Value(T,i)); /* 结点 */
    if(T.nodes[i].parent>=0) /* 有双亲 */
      printf("    %c",Value(T,T.nodes[i].parent)); /* 双亲 */
    printf("\n");
  }
}

 Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
 { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度+1，非空树c与T不相交 */
   /* 操作结果：插入c为T中p结点的第i棵子树 */
   int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */
   PTNode t;
   if(!TreeEmpty(*T)) /* T不空 */
   {
     for(j=0;j<(*T).n;j++) /* 在T中找p的序号 */
       if((*T).nodes[j].data==p) /* p的序号为j */
         break;
     l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */
     if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */
     {
       for(k=j+1;k<(*T).n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */
         if((*T).nodes[k].parent==j) /* 当前结点是p的孩子 */
         {
           n++; /* 孩子数加1 */
	   if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */
             break;
         }
       l=k+1; /* c插在k+1处 */
     } /* p的序号为j，c插在l处 */
     if(l<(*T).n) /* 插入点l不在最后 */
       for(k=(*T).n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的结点向后移c.n个位置 */
       {
         (*T).nodes[k+c.n]=(*T).nodes[k];
         if((*T).nodes[k].parent>=l)
           (*T).nodes[k+c.n].parent+=c.n;
       }
     for(k=0;k<c.n;k++)
     {
       (*T).nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有结点插于此处 */
       (*T).nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;
     }
     (*T).nodes[l].parent=j; /* 树c的根结点的双亲为p */
     (*T).n+=c.n; /* 树T的结点数加c.n个 */
     while(f)
     { /* 从插入点之后，将结点仍按层序排列 */
       f=0; /* 交换标志置0 */
       for(j=l;j<(*T).n-1;j++)
         if((*T).nodes[j].parent>(*T).nodes[j+1].parent)
	 {/* 如果结点j的双亲排在结点j+1的双亲之后(树没有按层序排列)，交换两结点*/
           t=(*T).nodes[j];
           (*T).nodes[j]=(*T).nodes[j+1];
           (*T).nodes[j+1]=t;
           f=1; /* 交换标志置1 */
           for(k=j;k<(*T).n;k++) /* 改变双亲序号 */
             if((*T).nodes[k].parent==j)
               (*T).nodes[k].parent++; /* 双亲序号改为j+1 */
             else if((*T).nodes[k].parent==j+1)
               (*T).nodes[k].parent--; /* 双亲序号改为j */
         }
     }
     return OK;
   }
   else /* 树T不存在 */
     return ERROR;
 }

Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度 */
  /* 操作结果：删除T中结点p的第i棵子树 */
  int j,k,n=0;
  LinkQueue q;
  QElemType pq,qq;
  for(j=0;j<=(*T).n;j++)
    deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */
  pq.name='a'; /* 此成员不用 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  for(j=0;j<(*T).n;j++)
    if((*T).nodes[j].data==p)
      break; /* j为结点p的序号 */
  for(k=j+1;k<(*T).n;k++)
  {
    if((*T).nodes[k].parent==j)
      n++;
    if(n==i)
      break; /* k为p的第i棵子树结点的序号 */
  }
  if(k<(*T).n) /* p的第i棵子树结点存在 */
  {
    n=0;
    pq.num=k;
    deleted[k]=1; /* 置删除标记 */
    n++;
    EnQueue(&q,pq);
    while(!QueueEmpty(q))
    {
      DeQueue(&q,&qq);
      for(j=qq.num+1;j<(*T).n;j++)
        if((*T).nodes[j].parent==qq.num)
        {
          pq.num=j;
          deleted[j]=1; /* 置删除标记 */
          n++;
          EnQueue(&q,pq);
        }
    }
    for(j=0;j<(*T).n;j++)
      if(deleted[j]==1)
      {
        for(k=j+1;k<=(*T).n;k++)
        {
          deleted[k-1]=deleted[k];
          (*T).nodes[k-1]=(*T).nodes[k];
          if((*T).nodes[k].parent>j)
            (*T).nodes[k-1].parent--;
        }
        j--;
      }
    (*T).n-=n; /* n为待删除结点数 */
  }
}

void TraverseTree(PTree T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
  /* 操作结果：层序遍历树T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
  int i;
  for(i=0;i<T.n;i++)
    Visit(T.nodes[i].data);
  printf("\n");
}

孩子链表表示法

存储结构

  /*树的孩子链表存储表示*/
  typedef struct CTNode {　　　// 孩子结点
　　　int child;
　　　struct CTNode *next;
　　} *ChildPtr;
　　typedef struct {
　　　ElemType data; 　　　　　　　// 结点的数据元素
　　　ChildPtr firstchild; 　　　　// 孩子链表头指针
　　} CTBox;
　　typedef struct {
　　　CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
　　　int n, r; 　　　　　　　　　// 结点数和根结点的位置
　　} CTree;

森林、树与二叉树的转换

见二叉树相应章节

外部链接

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