线性方程组

有m个方程、n个未知数，每个未知数的次数均为1，这样的方程组称为线性方程组。方程组的系数构成了一个m*n的矩阵，称为系数矩阵。系数矩阵与结果列向量共同构成了方程组的增广矩阵。线性方程组和增广矩阵一一对应。对增广矩阵实施三种矩阵初等行变换，矩阵对应的方程组解不变： 1 交换两行 2 在每一行上共同乘以一个非零数 3 把一行的倍数加到另一行上

上三角矩阵：当i>j时a[i,j]=0，矩阵就A称为上三角矩阵。若a[i,i]<>0，则矩阵A称为严格上三角矩阵。 矩阵可以通过有限次初等行变换转变为上三角矩阵。 线性方程组解的情况只能是无解、唯一解、无穷组解之一。线性方程组有唯一解当且仅当其增广矩阵能够通过初等行变换编程严格上三角矩阵。

行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵是一个满足（1）每一个非零行的第一个非零元为1;(2)若第i行为非零行，则第i+1行行首的0多于第i行;(3)非零行在全零行之前 的矩阵（这里，忽略性质1）。 矩阵可以通过有限次初等行变换转变为行阶梯形矩阵。 线性方程组无解当且仅当其行增广矩阵转化成的阶梯形矩阵含有形如[0 0 0 ... 0 a] (a<>0)的行。

以上叙述了线性方程组解的情况。若有唯一解，将其转化为严格上三角矩阵（此时也是行阶梯形矩阵），然后可以采取回代求解。这种方法叫做高斯消元法。