康托展开

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个 123 132 213 231 312 321

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。他们间的对应关系可由康托展开来找到。 如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123 213 小于3的数有1，2 所以有2*2!个 再看小于第二位2的 小于2的数只有一个就是1 所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开 再举个例子 1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数 第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1，2但1已经在第一位了所以只有一个数2 1*2! 第三位是2小于2的数是1，但1在第一位所以有0个数 0*1! 所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个 1324是第三个大数。

举例程序

• 应用于 USACO 3.2.5 Magic Squares (msquare) (翻译)(题解)

把一个8位的不重复八进制数字串进行康托展开

unsigned long cantor(unsigned long S)
{
	long x=0,i,p,k,j;
	bool hash[8]={false};
	for (i=8;i>=2;i--)
	{
		k=S>> 3*(i-1);
		S-=k<<3*(i-1);
		hash[k]=true;
		p=k;
		for (j=0;j<=k-1;j++)
			if (hash[j])
				p--;
		x+=fac[i-1]*p; //fac存的是阶乘 fac[1] = 1, fac[2] = 2, fac[3] = 6...
	}
	return x;
}

Function ct(p:arr):longint; 
Var 
 i,j,t,ans:longint; 
Begin 
 for i:=1 to 7 do //8位的时候
 begin 
　　t:=0; 
　　for j:=i+1 to 8 do 
 if p[j]<p[i] then inc(t); 
ans:=(ans+t）*(8-i); 
 end; 
 exit(ans); 
End;

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